Квантовое сверхплотное кодирование (quantum dense coding)

Квантовое сверхплотное кодирование (quantum dense coding) — это протокол квантовой информации, который позволяет передавать два бита классической информации с использованием только одного квантового бита (кубита), при условии, что у отправителя и получателя есть предварительно разделённое запутанное квантовое состояние. Этот метод демонстрирует мощь квантовой механики и запутанности для передачи информации более эффективно, чем это возможно в классических системах.

Основная идея

Квантовое сверхплотное кодирование было впервые предложено в 1992 году Чарльзом Беннеттом и Стивеном Виснером. Основная идея заключается в том, что два классических бита информации (например, 00, 01, 10 или 11) могут быть закодированы и переданы с использованием одного кубита, если у отправителя (Алисы) и получателя (Боба) есть пара запутанных кубитов. Это возможно благодаря уникальным свойствам квантовой запутанности, которая создаёт корреляции между кубитами, даже если они находятся на большом расстоянии друг от друга.

Необходимые компоненты

Для реализации сверхплотного кодирования нужны следующие элементы:

• Запутанное состояние: Алиса и Боб должны разделять пару кубитов в запутанном состоянии, например, в одном из состояний Белла, таком как:
  
  $$|\Psi\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$$

Это состояние означает, что кубиты Алисы и Боба связаны, и измерение одного кубита мгновенно определяет состояние другого.

• Квантовая система передачи: Алиса отправляет свой кубит Бобу через квантовый канал.
• Классический канал (опционально): используется для координации или передачи дополнительной информации, но не обязателен для самого протокола.
• Квантовые операции: Алиса выполняет определённые квантовые преобразования (операторы) на своём кубите, чтобы закодировать сообщение.
• Измерение: Боб проводит совместное измерение двух кубитов, чтобы декодировать сообщение.

Как работает протокол

Рассмотрим пошагово, как Алиса передаёт два классических бита информации (например, 00, 01, 10 или 11) Бобу, используя только один кубит.

Шаг 1: Подготовка запутанного состояния

Алиса и Боб начинают с пары кубитов в запутанном состоянии Белла, например:

$$|\Psi\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$$

• Один кубит находится у Алисы, другой — у Боба. Это состояние создаётся заранее, например, в лаборатории, а затем кубиты разделяются.​

Шаг 2: Кодирование сообщения Алисой

• Алиса хочет передать два классических бита, которые могут принимать значения 00, 01, 10 или 11.
• Чтобы закодировать одно из этих четырёх сообщений, Алиса применяет к своему кубиту одну из четырёх квантовых операций (операторов Паули или их комбинаций). Эти операции изменяют общее запутанное состояние системы. Операторы соответствуют следующим сообщениям:
  • 00: Ничего не делать (оператор тождественности $I$).
  • 01: Применить оператор Паули $X$ (битовый флип).
  • 10: Применить оператор Паули $Z$ (фазовый флип).
  • 11: Применить комбинацию $X$ и $Z$, то есть $iY$ (или $XZ$).
• Эти операции преобразуют начальное запутанное состояние в одно из четырёх ортогональных состояний Белла:
   
  • $I$: $\frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$
  • $X$: $\frac{|10\rangle + |01\rangle}{\sqrt{2}}$
  • $Z$: $\frac{|00\rangle - |11\rangle}{\sqrt{2}}$
  • $iY$: $\frac{|10\rangle - |01\rangle}{\sqrt{2}}$

Шаг 3: Передача кубита

• Алиса отправляет свой кубит Бобу через квантовый канал. Это единственный кубит, который физически передаётся.

Шаг 4: Декодирование Бобом

• Теперь у Боба есть оба кубита: его собственный и тот, что прислала Алиса.
• Боб выполняет совместное измерение двух кубитов в базисе Белла. Поскольку каждое из четырёх состояний Белла ортогонально, измерение точно определяет, какое состояние было отправлено, а значит, и какое сообщение (00, 01, 10 или 11) закодировала Алиса.

Почему это работает?

Ключевая особенность сверхплотного кодирования — использование квантовой запутанности. Запутанное состояние создаёт корреляции между кубитами Алисы и Боба, что позволяет Алисе "упаковать" два бита информации в один кубит. Без запутанности передать два бита с помощью одного кубита невозможно, так как один кубит в классическом смысле может нести только один бит информации (например, 0 или 1).

Запутанность позволяет Алисе манипулировать состоянием своей части системы, что влияет на общее состояние пары кубитов. Когда Боб получает кубит Алисы, он может использовать оба кубита для различения четырёх возможных состояний, что эквивалентно двум битам информации.

Преимущества и ограничения Преимущества:

• Эффективность: Позволяет передавать два бита классической информации, используя только один кубит, что удваивает пропускную способность квантового канала по сравнению с классическим.
• Демонстрация квантовой механики: Показывает мощь запутанности как ресурса в квантовой информации.

Ограничения:

• Необходимость запутанности: Требуется предварительно разделённое запутанное состояние, что может быть технически сложно реализовать и сохранить из-за декогеренции.
• Квантовый канал: Передача кубита требует квантового канала, который должен быть защищён от шума и потерь.
• Ограничение на два бита: Протокол ограничен передачей двух битов на один кубит. Для передачи большего объёма информации нужно больше запутанных пар.

Пример применения

Предположим, Алиса хочет передать Бобу сообщение "10". Она:

1. Берёт свой кубит из запутанной пары $\frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$
2. Применяет оператор $Z$, превращая состояние в $\frac{|00\rangle - |11\rangle}{\sqrt{2}}$
3. Отправляет свой кубит Бобу.
4. Боб измеряет оба кубита в базисе Белла и определяет, что состояние соответствует сообщению "10".

Реальные реализации

Квантовое сверхплотное кодирование было экспериментально продемонстрировано в различных системах:

• Фотонные системы: Используя поляризацию фотонов для создания запутанных состояний.
• Ионы в ловушках: Где кубиты реализованы через спиновые состояния ионов.
• Сверхпроводящие кубиты: В квантовых компьютерах.

Например, в 1996 году группа физиков под руководством Антона Цайлингера успешно реализовала сверхплотное кодирование с использованием запутанных фотонов.

Сравнение с классической передачей

В классической системе для передачи двух битов нужно отправить два физических бита (например, два сигнала 0 или 1). В квантовом сверхплотном кодировании один кубит плюс запутанность заменяют два классических бита, но это требует предварительной подготовки запутанного состояния и квантового канала. Таким образом, выгода достигается только в контексте квантовых систем с доступом к запутанности.

Применение в квантовых технологиях

• Квантовая криптография: Сверхплотное кодирование может использоваться для защищённой передачи информации, особенно в сочетании с квантовой телепортацией.
• Квантовые сети: Протокол может повысить эффективность передачи данных в квантовых коммуникационных системах.
• Квантовые вычисления: Используется для оптимизации передачи информации между квантовыми процессорами.

Математическое описание

Для полноты рассмотрим математическую основу. Состояние двух кубитов описывается в гильбертовом пространстве размером $2 \times 2 = 4$. Запутанное состояние, например, $\frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2$является суперпозицией двух базисных состояний. Операторы, применяемые Алисой, преобразуют это состояние в одно из четырёх ортогональных состояний:

$$\begin{aligned} I \otimes I &: \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}, \\ X \otimes I &: \frac{|10\rangle + |01\rangle}{\sqrt{2}}, \\ Z \otimes I &: \frac{|00\rangle - |11\rangle}{\sqrt{2}}, \\ iY \otimes I &: \frac{|10\rangle - |01\rangle}{\sqrt{2}}. \end{aligne$$

Боб использует оператор Белловского измерения, чтобы различить эти состояния. Проектор измерения для каждого состояния Белла однозначно определяет, какая операция была применена, а значит, какое сообщение отправлено.

Заключение

Квантовое сверхплотное кодирование — это яркий пример того, как квантовая запутанность может использоваться для повышения эффективности передачи информации. Хотя оно требует сложных квантовых ресурсов (запутанных состояний и квантового канала), оно демонстрирует фундаментальные отличия квантовой информации от классической и открывает путь к новым технологиям в квантовых коммуникациях и вычислениях.