Фазовая модуляция (ФМ, или PM — Phase Modulation)

Фазовая модуляция (ФМ, или PM — Phase Modulation) — это вид модуляции, при котором информационный сигнал изменяет фазу несущей волны, оставляя её амплитуду и частоту неизменными.

Основы фазовой модуляции

Фазовая модуляция используется в системах передачи данных, где нужно закодировать информацию в радиосигнале или другом носителе. Несущая волна — это высокочастотный сигнал, который служит основой для передачи. В случае ФМ информация кодируется путём изменения фазы этого сигнала в зависимости от входного (модулирующего) сигнала.

• Несущая волна обычно описывается как синусоида вида:
  
  $$\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>s</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>(</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>t</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>)</em></span><span\; style="font-size:16px;"><em>=</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>A</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>\cdot </em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>cos</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em></em></span><span\; style="font-size:16px;"><em>(</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>2</em></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>\pi </em></span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>f</em></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>c</em></span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>t</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>+</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>\varphi </em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>(</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>t</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>)</em></span><span\; style="font-size:16px;"><em>)</em></span><span\; style="font-size:16px;"><em>,</em></span>$$где:
  • $A$ — амплитуда несущей (остаётся постоянной в ФМ),
  • $f_c$ — частота несущей,
  • $\phi(t)$ — фаза, которая изменяется в зависимости от модулирующего сигнала,
  • $t$ — время.
• Модулирующий сигнал — это низкочастотный сигнал (например, аудиосигнал или цифровые данные), который содержит передаваемую информацию. Он изменяет фазу несущей волны.

В фазовой модуляции фаза $\phi(t)$ пропорциональна модулирующему сигналу $m(t)$. Чем больше амплитуда модулирующего сигнала, тем больше отклонение фазы несущей от её исходного значения.

Математическая модель

Если модулирующий сигнал $m(t)$ — это, например, синусоида $m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t)$, то фаза несущей изменяется следующим образом:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>\varphi </em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>(</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>t</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>)</em></span><span\; style="font-size:16px;"><em>=</em></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>k</em></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>p</em></span>}}<span\; style="font-size:16px;"><em>\cdot </em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>m</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>(</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>t</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>)</em></span><span\; style="font-size:16px;"><em>,</em></span>$$

где $k_p$ — коэффициент фазовой чувствительности (измеряется в радианах на единицу амплитуды модулирующего сигнала).

Тогда сигнал с фазовой модуляцией будет:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>s</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>(</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>t</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>)</em></span><span\; style="font-size:16px;"><em>=</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>A</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>\cdot </em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>cos</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em></em></span><span\; style="font-size:16px;"><em>(</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>2</em></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>\pi </em></span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>f</em></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>c</em></span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>t</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>+</em></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>k</em></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>p</em></span>}}<span\; style="font-size:16px;"><em>\cdot </em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>m</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>(</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>t</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>)</em></span><span\; style="font-size:16px;"><em>)</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>.</em></span>}$$

Если подставить модулирующий сигнал:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>s</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>(</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>t</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>)</em></span><span\; style="font-size:16px;"><em>=</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>A</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>\cdot </em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>cos</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em></em></span><span\; style="font-size:16px;"><em>(</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>2</em></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>\pi </em></span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>f</em></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>c</em></span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>t</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>+</em></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>k</em></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>p</em></span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>A</em></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>m</em></span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>cos</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em></em></span><span\; style="font-size:16px;"><em>(</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>2</em></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>\pi </em></span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>f</em></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>m</em></span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>t</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>)</em></span><span\; style="font-size:16px;"><em>)</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>.</em></span>}$$

Здесь $k_p A_m$ называется индексом фазовой модуляции и обозначает максимальное отклонение фазы (в радианах).

Связь с частотной модуляцией

Фазовая модуляция тесно связана с частотной модуляцией (ЧМ, FM), так как изменение фазы несущей приводит к изменению её мгновенной частоты. Математически мгновенная частота $f_i(t)$ связана с фазой следующим образом:

$${\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>f</em></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>i</em></span>}}<span\; style="font-size:16px;"><em>(</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>t</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>)</em></span><span\; style="font-size:16px;"><em>=</em></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>f</em></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>c</em></span>}}<span\; style="font-size:16px;"><em>+</em></span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>1</em></span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>2</em></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>\pi </em></span>}}\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>d</em></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>\varphi </em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>(</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>t</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>)</em></span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>d</em></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>t</em></span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>.</em></span>}$$

Если $\phi(t) = k_p m(t)$, то:

$${\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>f</em></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>i</em></span>}}<span\; style="font-size:16px;"><em>(</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>t</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>)</em></span><span\; style="font-size:16px;"><em>=</em></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>f</em></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>c</em></span>}}<span\; style="font-size:16px;"><em>+</em></span>\frac{{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>k</em></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>p</em></span>}}}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>2</em></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>\pi </em></span>}}\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>d</em></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>m</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>(</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>t</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>)</em></span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>d</em></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>t</em></span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>.</em></span>}$$

Это показывает, что фазовая модуляция эквивалентна частотной модуляции, если модулирующий сигнал заменить его производной. Поэтому ФМ и ЧМ часто рассматриваются как взаимосвязанные методы, хотя их реализация и области применения могут отличаться.

Особенности фазовой модуляции

• Полоса частот: Фазовая модуляция создаёт более сложный спектр сигнала, чем амплитудная модуляция. Спектр ФМ-сигнала состоит из несущей частоты и боковых полос, количество и амплитуда которых зависят от индекса модуляции. Для узкополосной ФМ (когда индекс модуляции мал) спектр близок к АМ, а для широкополосной — он значительно шире.
• Устойчивость к шумам: ФМ менее чувствительна к амплитудным шумам, чем амплитудная модуляция, так как информация содержится в фазе, а не в амплитуде сигнала.
• Сложность реализации: Для аналоговой ФМ требуется точное управление фазой, что может быть сложнее, чем управление амплитудой. В цифровых системах ФМ реализуется проще благодаря цифровой обработке сигналов.

Применение фазовой модуляции

Фазовая модуляция используется в различных областях, включая:

• Цифровая связь:
  • Фазовая манипуляция (PSK — Phase Shift Keying): Цифровая версия ФМ, где фаза несущей принимает дискретные значения (например, 0° или 180° для BPSK, или 0°, 90°, 180°, 270° для QPSK). Используется в Wi-Fi, спутниковой связи, 4G/5G.
  • Квадратурная амплитудная модуляция (QAM): Комбинирует ФМ и амплитудную модуляцию для увеличения объёма передаваемых данных.
• Радиовещание: Хотя ЧМ чаще используется в радиовещании (например, FM-радио), ФМ применяется в некоторых специализированных системах.
• Спутниковая и космическая связь: ФМ устойчива к шумам, что делает её подходящей для передачи данных на большие расстояния.
• Радарные системы: ФМ используется для кодирования сигналов в некоторых типах радаров.
• Аудиосинтезаторы: В музыкальных синтезаторах ФМ используется для создания сложных звуковых текстур.

Преимущества и недостатки

Преимущества:

• Высокая устойчивость к амплитудным шумам.
• Эффективное использование полосы частот в цифровых системах (например, PSK).
• Возможность передачи больших объёмов данных при использовании сложных схем модуляции (QAM).

Недостатки:

• Сложность реализации в аналоговых системах.
• Требует синхронизации между передатчиком и приёмником для корректного декодирования фазы.
• Широкий спектр сигнала может создавать помехи в соседних частотных каналах.

Пример для понимания

Представим, что вы передаёте цифровой сигнал с помощью бинарной фазовой манипуляции (BPSK). Несущая волна имеет частоту 1 МГц. Если передаётся бит "0", фаза несущей остаётся 0°, а если бит "1" — фаза меняется на 180°. Приёмник анализирует фазу сигнала и декодирует переданные биты. Это простой пример того, как ФМ используется для передачи данных.

Заключение

Фазовая модуляция — это мощный инструмент в современных системах связи, особенно в цифровых технологиях. Она позволяет эффективно кодировать информацию, устойчива к шумам и широко применяется в телекоммуникациях, спутниковой связи и других областях. Её связь с частотной модуляцией делает её универсальной, но реализация требует точной синхронизации и обработки сигналов.