Закон Стокса-Эйнштейна

Закон Стокса-Эйнштейна — это важное уравнение в физической химии и статистической механике, которое связывает коэффициент диффузии частицы в жидкости с её размером и вязкостью среды. Оно объединяет результаты гидродинамики (уравнение Стокса) и теории броуновского движения (работы Эйнштейна).

Формулировка закона Стокса-Эйнштейна

Закон Стокса-Эйнштейна гласит:

$$\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">D</span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">=</span></em>\frac{{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">k</span></em>}}_{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">B</span></em>}}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">T</span></em>}}{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">6</span></em>}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">\pi </span></em>}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">\eta </span></em>}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">r</span></em>}}$$

где:

Физический смысл

Этот закон описывает диффузию сферической частицы в вязкой среде, обусловленную тепловыми флуктуациями:

• Чем выше температура, тем быстрее частицы диффундируют.

• Чем больше вязкость или размер частицы — тем медленнее идёт диффузия.

• Он применим при условиях низких чисел Рейнольдса (то есть движение частиц происходит в условиях ламинарного течения, без турбулентности).

Исторический контекст

• Гидродинамика (Стокс, 1851): описал сопротивление жидкости движущейся сфере:

  $$\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">F</span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">=</span></em>\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">6</span></em>}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">\pi </span></em>}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">\eta </span></em>}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">r</span></em>}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">v</span></em>}$$



• Броуновское движение (Эйнштейн, 1905): показал, что случайное движение частиц связано с температурой и вязкостью среды.

• Объединение этих двух идей дало формулу Стокса-Эйнштейна.

Предположения и ограничения

Закон Стокса-Эйнштейна работает хорошо при определённых условиях:

1. Частица сферическая — форма важна, т.к. сила сопротивления зависит от геометрии.

2. Частица не взаимодействует с другими частицами — разбавленные растворы.

3. Частица существенно больше молекул жидкости, но всё ещё подвержена тепловому движению.

4. Низкие скорости и числа Рейнольдса — движение ламинарное.

5. Неподвижная, вязкая, непрерывная среда.

В случае очень малых частиц (нанометрового масштаба), непрерывность среды нарушается, и закон требует модификаций (например, учитываются скольжение на границе частицы или гидродинамические эффекты на наноуровне).

Примеры применения

• Измерение размеров наночастиц (например, в нанотехнологиях или биофизике).

• Изучение вязкости биологических жидкостей (например, цитозоля клетки).

• Оценка подвижности белков, ДНК и вирусов в растворе.

• Динамическое светорассеяние (DLS) — метод для определения размеров частиц, использующий этот закон.

Расширения и модификации

1. Фактор скольжения (для маленьких частиц):

   
   $$\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">D</span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">=</span></em>\frac{{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">k</span></em>}}_{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">B</span></em>}}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">T</span></em>}}{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">6</span></em>}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">\pi </span></em>}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">\eta </span></em>}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">r</span></em>}}<em><span\; style="font-size:16px;">\cdot </span></em>\frac{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">1</span></em>}}{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">\beta </span></em>}}$$

   где $\beta$ — поправка на скольжение (например, для газа).

2. Несферические частицы:
   В этом случае используют тензоры диффузии и специальные формы уравнений (например, для эллипсоидов или палочек).

3. Закон Стокса-Эйнштейна-Дебая — учитывает вращательную диффузию.

Заключение

Закон Стокса-Эйнштейна — это фундаментальный мост между макроскопической гидродинамикой и микроскопической статистической механикой. Он позволяет по наблюдаемому коэффициенту диффузии делать выводы о размерах частиц и свойствах среды, в которой они движутся. Несмотря на простоту, он активно используется в современных научных исследованиях, особенно в биофизике, нанотехнологиях и химии.