Дата публикации: 25.01.2025 04:10
Просмотров: 34

Место для Вашей рекламы размером 750 на 100 пикселей

Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера — это фундаментальное уравнение квантовой механики, описывающее, как изменяется волновая функция квантовой системы во времени. Оно является основой квантовой механики и определяет, как распределение вероятностей частиц в пространстве и времени зависит от различных факторов, таких как энергия системы, потенциал и другие характеристики. Уравнение Шредингера играет ключевую роль в предсказаниях поведения микроскопических частиц, таких как электроны, атомы и молекулы.

Общее описание

Уравнение Шредингера можно представить как дифференциальное уравнение, которое связывает волновую функцию системы с её энергией и другими физическими величинами. Волновая функция (обозначаемая как $ψ$ ) содержит всю информацию о состоянии квантовой системы, и её квадрат дает вероятность нахождения частицы в определённой области пространства.

Уравнение существует в двух формах:

Времезависимая форма
Временнезависимая форма

Времезависимая форма уравнения Шредингера

Времезависимая форма уравнения Шредингера описывает, как изменяется волновая функция системы с течением времени.

Для частицы с массой $m$ , находящейся в одномерном потенциальном поле $V (x, t)$ , уравнение Шредингера записывается как:

$i ℏ \frac{\partial ψ (x, t)}{\partial t} = \hat{H} ψ (x, t),$

где:

$i$ — мнимая единица.
$ℏ$ — редуцированная постоянная Планка ( $ℏ = \frac{h}{2 π}$ ).
$ψ (x, t)$ — волновая функция системы, которая зависит от позиции $x$ и времени $t$ .
$\hat{H}$ — гамильтониан системы (оператор энергии), который включает кинетическую и потенциальную энергии:

$\hat{H} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + V (x, t),$

где:

Первый член (с производной по $x$ ) соответствует кинетической энергии.
Второй член $V (x, t)$ — потенциальная энергия, которая может зависеть как от положения, так и от времени.

Временнезависимая форма уравнения Шредингера

В случае, когда потенциальное поле не зависит от времени, можно рассматривать временно-независимую форму уравнения Шредингера. Это уравнение описывает стационарные состояния, то есть такие, в которых волновая функция не изменяется во времени, а зависит только от координат.

В этом случае уравнение имеет вид:

$\hat{H} ψ (x) = E ψ (x),$

где:

$\hat{H}$ — гамильтониан (как и ранее).
$ψ (x)$ — волновая функция в зависимости от позиции $x$ .
$E$ — энергия системы, которая является собственным значением гамильтониана.

Физический смысл волновой функции

Волновая функция $ψ (x, t)$ описывает вероятностное распределение местоположения частиц. Модуль квадрата волновой функции, то есть $∣ ψ (x, t) ∣^{2}$ , даёт вероятность нахождения частицы в определённой точке пространства (или области пространства) в определённый момент времени. Например, если мы хотим найти вероятность того, что частица будет в интервале от $x_{1}$ до $x_{2}$ , то эта вероятность вычисляется как интеграл от $∣ ψ (x, t) ∣^{2}$ по этому интервалу.

Примеры решения уравнения Шредингера

Частица в ящике (потенциал с ограничениями): Рассмотрим частицу, заключённую в одномерный ящик с жёсткими стенками (потенциал, равный нулю внутри и бесконечный снаружи). В этом случае решение уравнения Шредингера даёт дискретные уровни энергии (квантование энергии). Это один из самых простых и популярных примеров, который иллюстрирует основные принципы квантовой механики.
Атом водорода: Решение уравнения Шредингера для атома водорода даёт волновые функции (орбитали), которые описывают распределение вероятностей для электрона в атоме, а также энергетические уровни, которые наблюдаются в спектре атома водорода.

Дискретизация энергии

Одним из важнейших аспектов уравнения Шредингера является его способность предсказывать дискретизацию энергии в квантовых системах. Например, в атоме энергия электрона может принимать лишь определённые значения, а не любые, как в классической механике. Это явление связано с квантованием, которое является результатом решения уравнения Шредингера для конкретных систем.

Заключение

Уравнение Шредингера — это центральный элемент квантовой механики, который позволяет рассчитывать поведение микроскопических частиц. Оно описывает динамику и энергетические уровни таких частиц, как электроны, и предсказывает вероятность их нахождения в различных состояниях. Решения уравнения Шредингера могут быть сложными, но они играют ключевую роль в объяснении широкого круга явлений, от спектров атомов до взаимодействий элементарных частиц.

Нашли ошибку? Сообщите нам!
Материал распространяется по лицензии Creative Commons Zero

Поделись статьей с друзьями!