Уравнение Клейна

Уравнение Клейна — Гордона — это фундаментальное релятивистское волновое уравнение, описывающее эволюцию свободных (без взаимодействий) скалярных полей в пространстве-времени, и в частности, поведение частиц с нулевым спином, таких как мезоны. Оно является релятивистским аналогом нерелятивистского уравнения Шрёдингера, но применимо для описания частиц, движущихся с произвольными скоростями, включая скорости, близкие к скорости света.

История и мотивация

Уравнение названо в честь Оскара Клейна и Вальтера Гордона, которые впервые вывели его в 1926 году. В отличие от уравнения Шрёдингера, которое удовлетворяет принципам нерелятивистской механики и не учитывает релятивистские эффекты, уравнение Клейна — Гордона является полностью согласованным с специальной теорией относительности Эйнштейна.

Его основной задачей было описать движение квантовых частиц с учётом релятивистских эффектов. Ключевой особенностью уравнения Клейна — Гордона является использование 4-мерного пространства-времени, что делает его пригодным для описания частиц на больших скоростях и при наличии релятивистских эффектов.

Вывод уравнения Клейна — Гордона

Начнем с релятивистского уравнения для энергии частицы. В специальной теории относительности энергия $E$ частицы с массой $m$ и импульсом $p$ выражается как:

E^{2} = p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}

где $c$ — скорость света, $E$ — энергия, $p$ — импульс, а $m$ — масса частицы.

Для удобства в большинстве единиц используется система единиц, где скорость света $c = 1$ . Тогда это уравнение принимает вид:

E^{2} = p^{2} + m^{2}

Теперь сделаем переход от классической механики к квантовой механике, используя операторный подход. В квантовой механике энергия и импульс заменяются операторными величинами. В случае одной пространственной и одной временной координаты, энергия $E$ и импульс $p$ заменяются на соответствующие операторы:

E \to i ℏ \frac{\partial}{\partial t}, p \to - i ℏ \nabla

Здесь $i$ — мнимая единица, $ℏ$ — постоянная Планка, $\frac{\partial}{\partial t}$ — временная производная, а $\nabla$ — оператор градиента (для пространственных производных).

Подставим эти выражения в уравнение энергии:

{(i ℏ \frac{\partial}{\partial t})}^{2} = {(- i ℏ \nabla)}^{2} + m^{2}

Это можно записать как:

- ℏ^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} = - ℏ^{2} \nabla^{2} + m^{2}

Разделим обе части на $- ℏ^{2}$ и получим окончательное уравнение Клейна — Гордона:

$\frac{\partial^{2} ψ}{\partial t^{2}} - \nabla^{2} ψ + m^{2} ψ = 0$

или с учётом четырёхмерного оператора д'Аламбера:

□ ψ + m^{2} ψ = 0

где $□ = \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} - \nabla^{2}$ — оператор д'Аламбера (релятивистский аналог оператора Лапласа).

Здесь $ψ (x, t)$ — это волновая функция, описывающая частицу, а $m$ — масса этой частицы.

Интерпретация и особенности

Релятивистская природа:
Уравнение Клейна — Гордона удовлетворяет принципам специальной теории относительности, поскольку его производные по времени и пространству входят симметрично, что обеспечивает инвариантность уравнения при преобразованиях Лоренца.
Массовый член:
Массовый член $m^{2} ψ$ добавляется к уравнению для учёта инерционной массы частицы. Это уравнение описывает частицы как с ненулевой, так и с нулевой массой (например, фотоны).
Поле для частиц с нулевым спином:
Уравнение Клейна — Гордона описывает релятивистские скалярные поля. Это означает, что частицы, описываемые этим уравнением, имеют нулевой спин, такие как пионы в ядерной физике.
Отрицательная плотность вероятности:
Одним из недостатков уравнения Клейна — Гордона в его первоначальной интерпретации было то, что оно допускает решение с отрицательной плотностью вероятности. В стандартной квантовой механике плотность вероятности должна быть положительной, поскольку она интерпретируется как вероятность нахождения частицы в определённом месте. Это стало одной из причин, по которой уравнение Дирака было предложено позже для описания релятивистских частиц с ненулевым спином (например, электронов).

Оператор д'Аламбера и инвариантность

Уравнение Клейна — Гордона является инвариантным относительно преобразований Лоренца. Оператор $□$ , известный как оператор д'Аламбера, написан через производные по времени и пространству в метрике Минковского:

□ = η^{μ ν} \partial_{μ} \partial_{ν} = \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} - \nabla^{2}

где $η^{μ ν}$ — метрический тензор пространства Минковского.

Это уравнение не меняет своего вида при преобразованиях Лоренца, что делает его совместимым с принципами специальной теории относительности.

Уравнение Клейна — Гордона в квантовой теории поля

В квантовой теории поля уравнение Клейна — Гордона описывает скалярные поля (поля, которые инвариантны относительно преобразований Лоренца). Например, одно из ключевых полей в Стандартной модели физики элементарных частиц — поле Хиггса — описывается уравнением Клейна — Гордона.

В квантовой теории поля волновая функция $ψ (x, t)$ интерпретируется не как амплитуда вероятности нахождения частицы, а как поле, представляющее частицу. Его квантование приводит к описанию частиц как квантов этого поля. Таким образом, уравнение Клейна — Гордона стало основой для построения релятивистской квантовой теории.

Решения уравнения Клейна — Гордона

Решение уравнения Клейна — Гордона может быть представлено в виде волновой функции с использованием плоских волновых решений. Рассмотрим простейший случай решения в виде плоской волны:

ψ (x, t) = e^{i (k x - ω t)}

где $k$ — волновой вектор, $ω$ — частота. Подставив это решение в уравнение Клейна — Гордона, можно получить дисперсионное соотношение:

ω^{2} = k^{2} + m^{2}

Это соотношение аналогично релятивистскому уравнению для энергии $E^{2} = p^{2} + m^{2}$ при замене $E$ на $ω$ , а $p$ на $k$ , что показывает, что решение соответствует релятивистской энергии частицы.

Применения уравнения Клейна — Гордона

Квантовая теория поля:
Уравнение Клейна — Гордона играет важную роль в квантовой теории поля. Например, оно используется для описания скалярных полей в Стандартной модели, таких как поле Хиггса.
Космология:
В космологии скалярные поля, описываемые уравнением Клейна — Гордона, часто используются для описания инфляции, темной энергии и других явлений ранней Вселенной.
Нестабильные частицы:
Некоторые частицы, такие как мезоны, описываются уравнением Клейна — Гордона, поскольку они могут рассматриваться как безспиновые частицы с ненулевой массой.

Заключение

Уравнение Клейна — Гордона является фундаментальным уравнением в релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля, описывающим динамику скалярных полей и частиц с нулевым спином. Оно сыграло важную роль в развитии релятивистской квантовой теории и заложило основу для понимания поведения частиц при высоких энергиях.

17.04.2025
AMD FidelityFX

Уравнение Клейна - Гордона