Теорема неравенства Белла

Теорема неравенства Белла (или неравенства Белла) — это фундаментальный результат в квантовой механике, который устанавливает ограничения на корреляции между измерениями в классических системах и демонстрирует, что квантовые системы могут нарушать эти ограничения. Теорема была сформулирована ирландским физиком Джоном Стюартом Беллом в 1964 году и сыграла ключевую роль в понимании природы квантовой механики, особенно в контексте споров о локальности и реализме.

Теорема Белла возникла в рамках дискуссии о интерпретации квантовой механики, известной как спор Эйнштейна-Подольского-Розена (ЭПР). Эйнштейн и его коллеги предложили мысленный эксперимент, чтобы показать, что квантовая механика является неполной теорией, так как она допускает "нелокальные" корреляции между частицами. Они утверждали, что должна существовать более глубокая теория, основанная на локальном реализме, где свойства частиц определены заранее (реализм), а влияние на одну частицу не может мгновенно повлиять на другую (локальность).

Белл показал, что если природа действительно подчиняется локальному реализму, то корреляции между измерениями должны удовлетворять определённым математическим неравенствам (неравенства Белла). Однако квантовая механика предсказывает, что эти неравенства могут нарушаться, что было подтверждено экспериментально.

Теорема Белла утверждает, что никакая локальная теория со скрытыми параметрами не может воспроизвести все предсказания квантовой механики. Это означает, что если квантовая механика верна, то либо:

• Реализм (предположение, что свойства частиц существуют независимо от измерения) неверен, либо

• Локальность (предположение, что влияние не может распространяться быстрее скорости света) неверна.

Неравенства Белла — это математические выражения, которые ограничивают корреляции между измерениями в классических системах. Для их понимания рассмотрим эксперимент с двумя частицами (например, фотонами), которые находятся в запутанном состоянии.

• Две частицы создаются в одном источнике и разлетаются в противоположные стороны.

• На каждой стороне экспериментатор выбирает направление измерения (например, поляризацию фотона) и регистрирует результат.

• Корреляции между результатами измерений на двух сторонах описываются неравенствами Белла.

Пример одного из таких неравенств (в форме, предложенной Джоном Клаузером, Майклом Хорном, Абнером Шимони и Ричардом Холтом, известной как CHSH-неравенство):

$$\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">S</span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">=</span></em>\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">\mid </span></em>}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">E</span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">(</span></em>\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">a</span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">,</span></em>\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">b</span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">)</span></em><em><span\; style="font-size:16px;">-</span></em>\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">E</span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">(</span></em>\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">a</span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">,</span></em>{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">b</span></em>}}^{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">\prime </span></em>}}<em><span\; style="font-size:16px;">)</span></em><em><span\; style="font-size:16px;">+</span></em>\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">E</span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">(</span></em>{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">a</span></em>}}^{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">\prime </span></em>}}<em><span\; style="font-size:16px;">,</span></em>\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">b</span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">)</span></em><em><span\; style="font-size:16px;">+</span></em>\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">E</span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">(</span></em>{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">a</span></em>}}^{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">\prime </span></em>}}<em><span\; style="font-size:16px;">,</span></em>{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">b</span></em>}}^{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">\prime </span></em>}}<em><span\; style="font-size:16px;">)</span></em>\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">\mid </span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">\le </span></em>\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">2</span></em>}$$

Здесь:

• $E(a,b)$ — корреляция между измерениями на сторонах A и B при выборе направлений $a$ и $b$.

• $a,a^{\mathrm{\prime }},b,b^{\mathrm{\prime }}$ — различные направления измерений.

Для классических систем (локальных теорий со скрытыми параметрами) величина $S$ не может превышать 2. Однако квантовая механика предсказывает, что $S$ может достигать значения $2\sqrt{2}\approx 2.828$, что нарушает неравенство.

Эксперименты, такие как проведённые Аленом Аспектом в 1980-х годах и более поздние эксперименты с использованием запутанных фотонов, подтвердили, что квантовые системы действительно нарушают неравенства Белла. Это означает, что:

• Либо реализм неверен (свойства частиц не существуют до измерения),

• Либо локальность неверна (влияние может распространяться быстрее скорости света),

• Либо оба предположения неверны.

Теорема Белла имеет глубокие философские и практические последствия:

• Философские: Она ставит под сомнение классические представления о реальности и локальности, поддерживая интерпретации квантовой механики, такие как копенгагенская интерпретация или многомировая интерпретация.

• Практические: Нарушение неравенств Белла лежит в основе квантовой информатики, включая квантовую криптографию и квантовые вычисления.

• Копенгагенская интерпретация: Свойства частиц не существуют до измерения, что согласуется с нарушением неравенств Белла.

• Теория скрытых параметров: Некоторые интерпретации (например, теория Бома) допускают нелокальные скрытые параметры, чтобы объяснить нарушение неравенств.

• Многомировая интерпретация: Все возможные результаты измерений реализуются в параллельных вселенных.

Теорема неравенства Белла является одним из самых важных результатов в квантовой механике. Она показывает, что природа на фундаментальном уровне не может быть описана классическими представлениями о локальности и реализме. Экспериментальное подтверждение нарушения неравенств Белла подтверждает нелокальность и/или нереалистичность квантового мира, что делает её ключевым элементом в понимании квантовой физики и её приложений.