Дата публикации: 28.06.2025 01:28
Просмотров: 27

Матричная квантовая механика

Матричная квантовая механика — это один из первых математических формализмов квантовой механики, разработанный в 1925 году Вернером Гейзенбергом, Максом Борном и Паскуалем Йорданом. Она представляет собой подход к описанию квантовых систем, в котором физические величины, такие как положение, импульс, энергия и т.д., выражаются через матрицы, а их эволюция во времени описывается с помощью алгебраических операций. Этот формализм стал одной из основ современной квантовой теории и лег в основу более поздних интерпретаций, таких как волновая механика Шрёдингера.

Исторический контекст

К началу XX века классическая физика не могла объяснить многие явления на атомном и субатомном уровнях, такие как спектры излучения атомов или эффект фотоэлектричества. В 1925 году Вернер Гейзенберг, вдохновленный идеей сосредоточиться только на наблюдаемых величинах (например, частотах и интенсивностях спектральных линий), предложил новый подход, который отказывался от классических представлений о траекториях частиц. Вместо этого он ввел математические объекты — матрицы, которые описывали вероятности переходов между квантовыми состояниями. Макс Борн и Паскуаль Йордан позже формализовали этот подход, показав, что он основан на алгебре матриц.

Матричная квантовая механика была революционной, так как она отвергла интуитивные представления о частицах, движущихся по определенным траекториям, и заменила их абстрактными математическими структурами, которые лучше соответствовали экспериментальным данным.

Основные концепции

Физические величины как операторы (матрицы):
- В классической механике физические величины, такие как положение $x$ или импульс $p$ , являются числами. В матричной квантовой механике они представлены матрицами (или, в общем случае, операторами), которые действуют на векторы состояния в гильбертовом пространстве.
- Например, для частицы в одномерной системе матрицы положения $\hat{x}$ и импульса $\hat{p}$ могут быть бесконечномерными (для систем с непрерывным спектром) или конечномерными (для систем с дискретным спектром, таких как гармонический осциллятор).
Квантовые состояния:
- Состояние квантовой системы описывается вектором в гильбертовом пространстве. В матричной механике это часто представляется как бесконечный столбец чисел (вектор состояния).
- Например, для системы с двумя состояниями (например, спин-1/2 частицы) состояние может быть представлено вектором:
  
  $∣ ψ ⟩ = (\begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \end{array}),$
  где $c_1$ и $c_2$ — комплексные амплитуды, определяющие вероятности нахождения системы в каждом из состояний.
Коммутационные соотношения:
- Одним из ключевых отличий квантовой механики от классической является то, что операторы физических величин не коммутируют. Например, для операторов положения $\hat{x}$ и импульса $\hat{p}$ выполняется соотношение:
  
  $[\hat{x}, \hat{p}] = \hat{x} \hat{p} - \hat{p} \hat{x} = i ℏ,$
  где $\hbar$ — приведенная постоянная Планка, а $[\hat{x}, \hat{p}]$ — коммутатор. Это соотношение лежит в основе принципа неопределенности Гейзенберга.
Динамика системы:
- Эволюция квантовой системы во времени описывается уравнением Гейзенберга:
  
  $i ℏ \frac{d \hat{A}}{d t} = [\hat{A}, \hat{H}] + i ℏ \frac{\partial \hat{A}}{\partial t},$
  где $\hat{A}$ — оператор некоторой физической величины, $\hat{H}$ — гамильтониан системы (оператор полной энергии), а $[\hat{A}, \hat{H}]$ — коммутатор оператора $\hat{A}$ с гамильтонианом.
- Это уравнение показывает, как операторы (а не состояния) изменяются во времени в гейзенберговской картине квантовой механики.
Наблюдаемые величины:
- В матричной механике измеряемые величины (например, энергия, импульс) соответствуют собственным значениям матриц-операторов. Если система находится в собственном состоянии оператора $\hat{A}$ , то результат измерения будет одним из собственных значений $\lambda$ , удовлетворяющих уравнению:
  
  $\hat{A} ∣ ψ ⟩ = λ ∣ ψ ⟩ .$
- Вероятность того, что измерение даст определенное собственное значение, определяется проекцией вектора состояния на соответствующее собственное состояние.
Матричные элементы:
- Матричные элементы оператора $\hat{A}$ между состояниями $|m\rangle$ и $|n\rangle$ определяются как:
  
  $A_{m n} = ⟨ m ∣ \hat{A} ∣ n ⟩ .$
- Эти элементы связаны с вероятностями переходов между состояниями. Например, в атомной физике они могут описывать вероятности излучения или поглощения фотонов при переходе электрона между уровнями энергии.

Математическая основа

Матричная квантовая механика опирается на линейную алгебру, в частности на теорию матриц и гильбертовых пространств. Рассмотрим ключевые математические аспекты:

Матрицы и операторы:
- Операторы в матричной механике обычно являются эрмитовыми (или самосопряженными), что гарантирует, что их собственные значения действительны и соответствуют физически наблюдаемым величинам. Эрмитов оператор $\hat{A}$ удовлетворяет условию:
  
  ${\hat{A}}^{†} = \hat{A},$
  где $\hat{A}^\dagger$ — эрмитово сопряжение оператора $\hat{A}$ .
Собственные значения и собственные векторы:
- Для каждого оператора $\hat{A}$ существуют собственные векторы $|n\rangle$ и собственные значения $\lambda_n$ , такие что:
  
  $\hat{A} ∣ n ⟩ = λ_{n} ∣ n ⟩ .$
- Собственные значения соответствуют возможным результатам измерений, а собственные векторы — состояниям, в которых эти результаты определены.
Канонические коммутационные соотношения:
- Основой матричной механики являются коммутационные соотношения. Например, для гармонического осциллятора операторы уничтожения $\hat{a}$ и создания ${\hat{a}}^{†}$ удовлетворяют:
  
  $[\hat{a}, {\hat{a}}^{†}] = 1.$
- Эти соотношения позволяют выразить гамильтониан и другие операторы через $\hat{a}$ и $\hat{a}^\dagger$ , упрощая вычисления.
Уравнение Гейзенберга:
- В гейзенберговской картине состояния системы фиксированы, а операторы эволюционируют во времени. Это контрастирует с шрёдингеровской картиной, где операторы фиксированы, а состояния изменяются.

Пример: Гармонический осциллятор

Рассмотрим применение матричной механики к квантовому гармоническому осциллятору, который был одним из первых успехов этого подхода.

Гамильтониан: Гамильтониан гармонического осциллятора имеет вид:

$\hat{H} = \frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} {\hat{x}}^{2},$
где $\hat{p}$ — оператор импульса, $\hat{x}$ — оператор положения, $m$ — масса, $\omega$ — угловая частота.
Операторы создания и уничтожения: Вводятся операторы $\hat{a}$ и $\hat{a}^\dagger$ :

$\hat{a} = \sqrt{\frac{m ω}{2 ℏ}} \hat{x} + i \sqrt{\frac{1}{2 m ω ℏ}} \hat{p}, {\hat{a}}^{†} = \sqrt{\frac{m ω}{2 ℏ}} \hat{x} - i \sqrt{\frac{1}{2 m ω ℏ}} \hat{p} .$

Тогда гамильтониан переписывается как:

$\hat{H} = ℏ ω ({\hat{a}}^{†} \hat{a} + \frac{1}{2}) .$

Энергетические уровни: Собственные значения гамильтониана определяют уровни энергии:

$E_{n} = ℏ ω (n + \frac{1}{2}), n = 0, 1, 2, \dots .$
Собственные состояния $∣ n ⟩$ являются состояниями с определенным числом квантов энергии (число частиц).
Матричные элементы: Матричные элементы операторов $\hat{x}$ и $\hat{p}$ вычисляются в базисе собственных состояний $|n\rangle$ . Например:

$⟨ m ∣ \hat{x} ∣ n ⟩ \propto \sqrt{\frac{ℏ}{2 m ω}} (\sqrt{n} δ_{m, n - 1} + \sqrt{n + 1} δ_{m, n + 1}),$

где $\delta_{m,n}$ — символ Кронекера.

Этот пример показывает, как матричная механика позволяет вычислить наблюдаемые величины (энергии, вероятности переходов) без явного использования волновых функций.

Отличия от волновой механики

Матричная квантовая механика Гейзенберга и волновая механика Шрёдингера, разработанная вскоре после, являются эквивалентными формализмами, но отличаются подходом:

Матричная механика сосредотачивается на операторах и их алгебре, избегая явного использования координат или волновых функций. Она работает в терминах матриц и векторов в гильбертовом пространстве.
Волновая механика использует волновые функции $\psi(x, t)$ и дифференциальные уравнения (уравнение Шрёдингера) для описания квантовых систем.
Оба подхода эквивалентны: волновая функция в шрёдингеровской картине соответствует вектору состояния в матричной механике, а операторы в матричной механике соответствуют дифференциальным операторам в волновой механике.

В 1926 году Эрвин Шрёдингер доказал математическую эквивалентность этих двух подходов, что укрепило основы квантовой механики.

Значение и влияние

Революция в физике:
- Матричная квантовая механика заложила основу для современной квантовой теории, показав, что физические величины в микромире не подчиняются классическим законам, а описываются вероятностными законами и операторной алгеброй.
- Она ввела понятие некоммутативности, которое стало центральным в квантовой механике и легло в основу принципа неопределенности.
Применения:
- Матричная механика широко используется в квантовой теории поля, квантовой химии и теории твердого тела. Например, она удобна для описания систем с дискретными состояниями, таких как спиновые системы или квантовые гармонические осцилляторы.
- Алгебра операторов создания и уничтожения, развитая в рамках матричной механики, лежит в основе квантовой теории поля и квантовой оптики.
Философские последствия:
- Матричная механика подчеркивает отказ от классической интуиции в пользу математической абстракции. Это вызвало бурные дискуссии о природе реальности, вероятности и роли наблюдателя в квантовой механике.

Ограничения и критика

Математическая сложность: Матричная механика изначально была сложной для понимания и применения, особенно для систем с непрерывным спектром. Волновая механика Шрёдингера оказалась более интуитивной для многих физиков.
Ограниченная визуализация: В отличие от волновой механики, которая использует волновые функции, матричная механика менее наглядна, так как работает с абстрактными матрицами.
Историческое преодоление: Хотя матричная механика была первой, волновая механика и более поздние формализмы (например, интеграл по траекториям Фейнмана) часто используются для практических расчетов.

Заключение

Матричная квантовая механика — это фундаментальный формализм квантовой физики, который описывает квантовые системы с помощью матриц и операторов. Она была разработана Гейзенбергом, Борном и Йорданом как способ объяснить наблюдаемые явления, такие как спектры атомов, без опоры на классические представления. Основные идеи матричной механики — некоммутативность операторов, вероятностный характер измерений и эволюция операторов во времени — остаются ключевыми для современной квантовой теории. Хотя сегодня чаще используется шрёдингеровская картина или другие подходы, матричная механика остается важной для понимания основ квантовой физики и применяется в специализированных областях, таких как квантовая теория поля.

Нашли ошибку? Сообщите нам!
Материал распространяется по лицензии CC0 1.0 Universal

17.04.2025
AMD FidelityFX