Магнитостатика

Магнитостатика — это раздел классической электродинамики, который изучает постоянные (стационарные) магнитные поля и их взаимодействие с неподвижными или медленно движущимися заряженными частицами и телами. В отличие от электродинамики переменных полей, в магнитостатике рассматриваются ситуации, где электрические поля либо отсутствуют, либо не изменяются со временем, а магнитные поля создаются постоянными токами или намагниченными материалами.

 

Основные понятия и законы магнитостатики

1. Магнитное поле:
   Магнитное поле — это векторное поле, которое описывает магнитное воздействие на движущиеся заряды или магнитные моменты. Оно обозначается вектором магнитной индукции B или вектором напряжённости магнитного поля H.

2. Источники магнитного поля:

   • Постоянные токи: Магнитное поле создаётся движущимися зарядами, то есть электрическими токами. Это описывается законом Био—Савара—Лапласа.

   • Намагниченные материалы: Магнитные поля также могут создаваться магнитными моментами атомов или молекул в материалах (например, в постоянных магнитах).

3. Закон Био—Савара—Лапласа:
   Этот закон позволяет рассчитать магнитное поле, создаваемое малым элементом тока:

   
   $$\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">d</span></em>}\mathbf{<em><span\; style="font-size:16px;">B</span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">=</span></em>\frac{{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">\mu </span></em>}}_{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">0</span></em>}}}{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">4</span></em>}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">\pi </span></em>}}\frac{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">I</span></em>}\text{<em><span style="font-size:16px;">\hspace{0.17em}</span></em>}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">d</span></em>}\mathbf{<em><span\; style="font-size:16px;">l</span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">\times </span></em>\mathbf{<em><span\; style="font-size:16px;">r</span></em>}}{{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">r</span></em>}}^{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">3</span></em>}}}<em><span\; style="font-size:16px;">,</span></em>$$

   где:

   • $d\mathbf{B}$ — элементарное магнитное поле,

   • ${\mu }_0$ — магнитная постоянная,

   • $I$ — сила тока,

   • $d\mathbf{l}$ — элемент длины проводника с током,

   • $\mathbf{r}$ — радиус-вектор от элемента тока до точки наблюдения,

   • $r$ — расстояние от элемента тока до точки наблюдения.

4. Закон Ампера:
   Закон Ампера связывает циркуляцию магнитного поля вокруг замкнутого контура с током, протекающим через этот контур:

   
   $${\oint }_{\mathrm{\partial }S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}={\mu }_0{I}_{\text{enc}},$$

   где:

   • $\mathrm{\partial }S$ — замкнутый контур,

   • $I_{\text{enc}}$ — полный ток, охватываемый контуром.

   В дифференциальной форме закон Ампера записывается как:

   
   $$\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">\nabla </span>}<span\; style="font-size:16px;">\times </span>\mathbf{<span\; style="font-size:16px;">B</span>}<span\; style="font-size:16px;">=</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">\mu </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">0</span>}}\mathbf{<span\; style="font-size:16px;">J</span>}<span\; style="font-size:16px;">,</span>$$

   где $\mathbf{J}$ — плотность тока.

5. Магнитный поток:
   Магнитный поток через поверхность $S$ определяется как:

   $${\mathrm{\Phi }}_B={\int }_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}\mathrm{.}$$
   

   В магнитостатике магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю (закон Гаусса для магнитного поля):

   
   $${\oint }_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0.$$
   

   Это означает, что магнитные заряды (монополи) не существуют, и силовые линии магнитного поля всегда замкнуты.

6. Векторный потенциал:
   Магнитное поле можно выразить через векторный потенциал $\mathbf{A}$:

   
   $$\mathbf{<em><span\; style="font-size:16px;">B</span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">=</span></em>\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">\nabla </span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">\times </span></em>\mathbf{<em><span\; style="font-size:16px;">A</span></em>}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">.</span></em>}$$
   

   Векторный потенциал упрощает расчёты в задачах магнитостатики.

7. Магнитные моменты:
   Магнитные моменты возникают у частиц (например, электронов) и тел (например, витков с током). Магнитный момент $\mathbf{m}$ связан с током $I$ и площадью контура $S$:

   
   $$\mathbf{<em><span\; style="font-size:16px;">m</span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">=</span></em>\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">I</span></em>}\mathbf{<em><span\; style="font-size:16px;">S</span></em>}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">.</span></em>}$$
   

   Магнитные моменты создают магнитное поле и взаимодействуют с внешними магнитными полями.

8. Намагниченность:
   Намагниченность $\mathbf{M}$ — это векторная величина, характеризующая магнитное состояние материала. Она определяется как магнитный момент единицы объёма:

   $$\mathbf{<em><span\; style="font-size:16px;">M</span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">=</span></em>\frac{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">d</span></em>}\mathbf{<em><span\; style="font-size:16px;">m</span></em>}}{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">d</span></em>}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">V</span></em>}}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">.</span></em>}$$
   

   Намагниченность связана с напряжённостью магнитного поля $\mathbf{H}$ и магнитной индукцией $\mathbf{B}$:

   
   $$\mathbf{<span\; style="font-size:16px;"><em>B</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>=</em></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>\mu </em></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>0</em></span>}}<span\; style="font-size:16px;"><em>(</em></span>\mathbf{<span\; style="font-size:16px;"><em>H</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>+</em></span>\mathbf{<span\; style="font-size:16px;"><em>M</em></span>}<span\; style="font-size:16px;"><em>)</em></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>.</em></span>}$$



9. Магнитная восприимчивость и проницаемость:

   • Магнитная восприимчивость $\chi$ характеризует способность материала намагничиваться:

     
     $$\mathbf{<em><span\; style="font-size:16px;">M</span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">=</span></em>\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">\chi </span></em>}\mathbf{<em><span\; style="font-size:16px;">H</span></em>}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">.</span></em>}$$
   
   

   • Магнитная проницаемость $\mu$ связана с восприимчивостью:

     
     $$\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">\mu </span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">=</span></em>{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">\mu </span></em>}}_{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">0</span></em>}}<em><span\; style="font-size:16px;">(</span></em>\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">1</span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">+</span></em>\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">\chi </span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">)</span></em>\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">.</span></em>}$$
     

     Она определяет, как материал усиливает или ослабляет магнитное поле.

10. Граничные условия:
    На границе раздела двух сред с разными магнитными свойствами выполняются граничные условия:

    • Нормальная компонента магнитной индукции $\mathbf{B}$ непрерывна:

      
      $${\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">B</span></em>}}_{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">1</span></em>}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">n</span></em>}}<em><span\; style="font-size:16px;">=</span></em>{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">B</span></em>}}_{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">2</span></em>}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">n</span></em>}}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">.</span></em>}$$
    
    

    • Тангенциальная компонента напряжённости магнитного поля $\mathbf{H}$ может изменяться в зависимости от поверхностных токов:

      
      $${\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">H</span></em>}}_{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">1</span></em>}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">t</span></em>}}<em><span\; style="font-size:16px;">-</span></em>{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">H</span></em>}}_{\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">2</span></em>}\mathrm{<em><span\; style="font-size:16px;">t</span></em>}}<em><span\; style="font-size:16px;">=</span></em>\mathbf{<em><span\; style="font-size:16px;">K</span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">\times </span></em>\mathbf{<em><span\; style="font-size:16px;">n</span></em>}<em><span\; style="font-size:16px;">,</span></em>$$
      

      где $\mathbf{K}$ — поверхностная плотность тока, $\mathbf{n}$ — нормаль к поверхности.

 

Применение магнитостатики

Магнитостатика находит применение в различных областях:

• Электромагниты: Расчёт магнитных полей в катушках с током.

• Постоянные магниты: Изучение свойств и создание магнитных материалов.

• Магнитное экранирование: Защита от магнитных полей.

• Магнитные датчики: Разработка устройств, использующих магнитные поля для измерений.

• Биомагнетизм: Исследование магнитных полей, создаваемых живыми организмами (например, магнитное поле сердца).

 

Отличие магнитостатики от электродинамики

Магнитостатика рассматривает только стационарные магнитные поля, создаваемые постоянными токами или намагниченными материалами. В электродинамике, напротив, изучаются переменные электрические и магнитные поля, связанные уравнениями Максвелла, включая эффекты электромагнитной индукции и распространения электромагнитных волн.

Магнитостатика является важным фундаментальным разделом физики, который позволяет понять и описать поведение магнитных полей в стационарных условиях.