Конформная гравитация

Конформная гравитация — это альтернативная теория гравитации, которая основывается на идее конформной симметрии, то есть инвариантности физических законов относительно преобразований, изменяющих масштаб метрики пространства-времени, но сохраняющих его угловую структуру. Эта теория отличается от общей теории относительности (ОТО) Эйнштейна, которая описывает гравитацию как искривление пространства-времени, вызванное массой и энергией. Конформная гравитация предлагает иной подход, в котором метрика пространства-времени определена только с точностью до конформного фактора, а гравитационное взаимодействие описывается через другие механизмы.

Основы конформной гравитации

Конформная гравитация была впервые предложена Германом Вейлем в 1918 году как попытка объединить гравитацию и электромагнетизм в рамках единой теории. Вейль предположил, что физические законы должны быть инвариантны не только относительно локальных преобразований координат (как в ОТО), но и относительно локальных изменений масштаба метрики пространства-времени. Это означает, что если метрика $g_{\mu\nu}$ преобразуется как $g_{\mu\nu} \to \Omega^2(x) g_{\mu\nu}$, где $\Omega(x)$ — произвольная положительная функция, физические законы остаются неизменными.

Основная идея конформной гравитации заключается в том, что метрика пространства-времени не имеет абсолютного масштаба, а физически значимыми являются лишь отношения длин, углы и другие конформно-инвариантные величины. Это приводит к необходимости переформулировать уравнения гравитации так, чтобы они были инвариантны относительно конформных преобразований.

Наиболее известная реализация конформной гравитации — это теория Вейля, которая использует действие, основанное на квадрате тензора Вейля (конформно-инвариантного объекта), вместо стандартного действия Эйнштейна-Гильберта, используемого в ОТО.

Математическая структура

Конформная симметрия

Конформная симметрия подразумевает, что физические уравнения не изменяются при преобразовании метрики вида: $g_{\mu\nu} \to \tilde{g}_{\mu\nu} = \Omega^2(x) g_{\mu\nu},$ где $\mathrm{\Omega }(x)$ — гладкая функция, зависящая от координат. Это преобразование изменяет масштаб длин, но сохраняет углы между векторами, что делает его отличным от диффеоморфизмов (общих координатных преобразований) в ОТО.

Тензор Вейля

Ключевым объектом в конформной гравитации является тензор Вейля $C_{\mu\nu\rho\sigma}$, который является конформно-инвариантным. Тензор Вейля — это часть тензора кривизны Римана $R_{\mu\nu\rho\sigma}$, которая не изменяется при конформных преобразованиях метрики. Он определяется как:

$C_{\mu\nu\rho\sigma} = R_{\mu\nu\rho\sigma} - \frac{2}{n-2} \left( g_{\mu[\rho} R_{\sigma]\nu} - g_{\nu[\rho} R_{\sigma]\mu} \right) + \frac{2}{(n-1)(n-2)} R g_{\mu[\rho} g_{\sigma]\nu},$

где $R_{\mu \nu }$ — тензор Риччи, $R$ — скалярная кривизна, $n$ — размерность пространства-времени (обычно $n=4$), а квадратные скобки обозначают антисимметризацию.

Квадрат тензора Вейля, $C_{\mu\nu\rho\sigma} C^{\mu\nu\rho\sigma}$, является скаляром и используется для построения действия конформной гравитации.

Действие конформной гравитации

В отличие от ОТО, где действие Эйнштейна-Гильберта записывается как:

${\mathrm{<em>S</em>}}_{\text{<em>ЭГ</em>}}<em>=</em>\frac{\mathrm{<em>1</em>}}{\mathrm{<em>16</em>}\mathrm{<em>\pi </em>}\mathrm{<em>G</em>}}<em>\int </em>{\mathrm{<em>d</em>}}^{\mathrm{<em>4</em>}}\mathrm{<em>x</em>}\sqrt{<em>-</em>\mathrm{<em>g</em>}}\mathrm{<em>R</em>}<em>,</em>$

$$действие конформной гравитации Вейля имеет вид:

${\mathrm{<em>S</em>}}_{\text{<em>Вейль</em>}}<em>=</em><em>-</em>\mathrm{<em>\alpha </em>}<em>\int </em>{\mathrm{<em>d</em>}}^{\mathrm{<em>4</em>}}\mathrm{<em>x</em>}\sqrt{<em>-</em>\mathrm{<em>g</em>}}{\mathrm{<em>C</em>}}_{\mathrm{<em>\mu </em>}\mathrm{<em>\nu </em>}\mathrm{<em>\rho </em>}\mathrm{<em>\sigma </em>}}{\mathrm{<em>C</em>}}^{\mathrm{<em>\mu </em>}\mathrm{<em>\nu </em>}\mathrm{<em>\rho </em>}\mathrm{<em>\sigma </em>}}<em>,</em>$

де $\alpha$ — безразмерная константа связи, $g = \det(g_{\mu\nu})$, а $C_{\mu\nu\rho\sigma} C^{\mu\nu\rho\sigma}$ — конформно-инвариантный скаляр, называемый квадратом тензора Вейля.

Это действие не содержит размерных констант, таких как гравитационная постоянная $G$, что делает его инвариантным относительно конформных преобразований. Однако для согласования с наблюдениями требуется введение механизмов нарушения конформной симметрии, чтобы получить правильные физические масштабы (например, массы частиц).

Уравнения поля

Вариация действия по метрике $g_{\mu\nu}$ приводит к уравнениям поля конформной гравитации, которые называются уравнениями Баха: $B_{\mu\nu} = 0,$ где $B_{\mu\nu}$ — тензор Баха, определяемый как: $B_{\mu \nu }={\mathrm{\nabla }}^{\sigma }{\mathrm{\nabla }}^{\rho }{C}_{\mu \rho \nu \sigma }+\frac{1}{2}{R}^{\rho \sigma }{C}_{\mu \rho \nu \sigma }$ Тензор Баха является симметричным, бездивергентным ($\nabla^\mu B_{\mu\nu} = 0$) и конформно-инвариантным. Эти уравнения сложнее, чем уравнения Эйнштейна, и их решения описывают динамику метрики в конформной гравитации.

Отличия от общей теории относительности

1. Конформная инвариантность: В ОТО метрика пространства-времени имеет абсолютный масштаб, определяемый гравитационной постоянной $G$. В конформной гравитации масштаб метрики не фиксирован, и физические законы зависят только от конформно-инвариантных величин.
2. Действие: В ОТО действие линейно по скалярной кривизне $R$, тогда как в конформной гравитации оно квадратично по тензору Вейля, что приводит к уравнениям поля четвертого порядка (вместо второго порядка в ОТО).
3. Масштабная инвариантность: В конформной гравитации массы частиц и физические масштабы должны возникать через механизмы спонтанного нарушения конформной симметрии, например, через введение скалярного поля (аналогичного полю Хиггса).
4. Космологические следствия: Конформная гравитация предлагает альтернативные объяснения для таких явлений, как тёмная энергия и тёмная материя, без необходимости их введения. Например, модифицированные уравнения поля могут давать ускоренное расширение Вселенной без космологической постоянной.
5. Сложность решений: Уравнения Баха сложнее уравнений Эйнштейна, что затрудняет их аналитическое и численное решение.

Физические следствия и приложения

Космология

Конформная гравитация предлагает альтернативное объяснение крупномасштабной структуры Вселенной и её ускоренного расширения. Например, она может воспроизводить наблюдаемую кривую вращения галактик без привлечения тёмной материи. Это достигается за счёт модифицированных гравитационных потенциалов, которые отличаются от ньютоновского закона $1/r$ на больших масштабах.

В космологии конформная гравитация может быть использована для объяснения плоской ротационной кривой галактик, где скорость вращения звёзд на периферии остаётся постоянной, а не уменьшается с расстоянием, как предсказывает ОТО без тёмной материи. Например, решения уравнений Баха в статическом сферически-симметричном случае дают гравитационный потенциал вида:

$\mathrm{<em>\Phi </em>}<em>(</em>\mathrm{<em>r</em>}<em>)</em><em>\sim </em><em>-</em>\frac{\mathrm{<em>M</em>}}{\mathrm{<em>r</em>}}<em>+</em>\mathrm{<em>\gamma </em>}\mathrm{<em>r</em>}$

где $\gamma$ — малая константа, обеспечивающая плоскую кривую вращения.

Объединение с другими теориями

Конформная гравитация привлекательна для попыток объединения гравитации с другими фундаментальными взаимодействиями, так как её конформная симметрия естественно сочетается с теориями струн и другими подходами к квантовой гравитации, где масштабная инвариантность играет важную роль.

Астрономические тесты

Конформная гравитация проверяется через астрономические наблюдения, такие как:

• Кривые вращения галактик.
• Гравитационное линзирование.
• Космологическое красное смещение и расширение Вселенной.

Некоторые исследования показывают, что конформная гравитация может объяснить эти явления без тёмной материи, но её предсказания часто требуют дополнительных допущений для согласования с данными.

Проблемы и критика

Конформная гравитация сталкивается с рядом проблем, которые ограничивают её признание в качестве основной теории гравитации:

1. Нарушение конформной симметрии: Чтобы объяснить массы частиц и физические масштабы, необходимо ввести механизм нарушения конформной симметрии, что усложняет теорию и делает её менее элегантной.
2. Сложность уравнений: Уравнения Баха имеют более высокую степень сложности, чем уравнения Эйнштейна, что затрудняет их решение и применение в практических задачах.
3. Наблюдательные тесты: Хотя конформная гравитация может объяснить некоторые явления (например, кривые вращения галактик), она менее успешна в описании других эффектов, таких как структура крупномасштабной Вселенной или реликтовое излучение.
4. Конкуренция с ОТО: Общая теория относительности подтверждена множеством экспериментов (гравитационное линзирование, орбита Меркурия, гравитационные волны и др.), тогда как конформная гравитация пока не имеет такого же уровня экспериментальной поддержки.
5. Квантовая совместимость: Конформная гравитация сталкивается с трудностями при попытке квантования, так как уравнения четвёртого порядка часто приводят к проблемам с унитарностью и появлением "призрачных" степеней свободы.

Современное состояние и исследования

Конформная гравитация остаётся активной областью исследований, особенно в контексте альтернативных теорий гравитации и попыток объяснить космологические данные без тёмной материи и тёмной энергии. Некоторые современные исследования сосредоточены на:

• Модификациях конформной гравитации для улучшения согласования с наблюдениями.
• Интеграции с теориями струн и суперсимметрией.
• Разработке численных методов для решения уравнений Баха.

Однако большинство физиков считают конформную гравитацию скорее теоретической конструкцией, чем полноценной альтернативой ОТО, из-за её сложности и ограниченной экспериментальной поддержки.

Заключение

Конформная гравитация — это интересный и амбициозный подход к описанию гравитации, основанный на идее конформной симметрии. Она предлагает альтернативный взгляд на природу пространства-времени и может объяснить некоторые космологические явления без привлечения тёмной материи. Однако её математическая сложность, необходимость нарушения конформной симметрии и недостаток экспериментальных подтверждений делают её менее популярной по сравнению с ОТО.