Калибровочная теория гравитации

Калибровочная теория гравитации — это подход к описанию гравитации, основанный на принципах калибровочной инвариантности, аналогичных тем, что используются в других фундаментальных теориях поля, таких как электродинамика или теория слабых и сильных взаимодействий. В отличие от общей теории относительности (ОТО) Эйнштейна, которая описывает гравитацию как искривление пространства-времени, калибровочная теория рассматривает гравитацию как поле, связанное с определённой группой симметрии, действующей в плоском пространстве-времени.

Основная идея калибровочной теории

Калибровочные теории основаны на принципе локальной симметрии, когда физические законы остаются неизменными при определённых преобразованиях, которые могут варьироваться от точки к точке в пространстве-времени. В контексте гравитации калибровочная теория предполагает, что гравитационное взаимодействие возникает из локальной инвариантности относительно определённой группы преобразований, например, группы Лоренца, группы Пуанкаре или более сложных групп, таких как конформная группа или группа диффеоморфизмов.

Основные шаги построения калибровочной теории гравитации:

• Выбирается группа симметрии, связанная с гравитацией (например, группа Пуанкаре, которая включает трансляции и лоренцевские вращения).
• Вводится калибровочное поле, которое компенсирует изменения физических величин при локальных преобразованиях этой группы.
• Формулируется лагранжиан, описывающий динамику калибровочного поля и его взаимодействие с другими полями (например, с материей).
• Уравнения движения выводятся из принципа наименьшего действия.

Группы симметрии и калибровочные поля

В калибровочной теории гравитации ключевую роль играет выбор группы симметрии. Наиболее распространённые варианты:

• Группа Пуанкаре: Эта группа включает трансляции (сдвиги в пространстве и времени) и лоренцевские преобразования (вращения и бусты). В этом случае гравитация связана с локальной инвариантностью относительно преобразований Пуанкаре. Калибровочные поля, соответствующие трансляциям, часто интерпретируются как тетрада (или вирбейн), а поля, связанные с лоренцевскими вращениями, — как спиновая связность.
• Группа Лоренца: Если рассматривать только локальные лоренцевские преобразования, то калибровочное поле описывает спиновую связность, а метрика пространства-времени может быть производной величиной.
• Конформная группа или группа Вейля: Включает масштабные преобразования, что приводит к более сложным теориям, где гравитация может включать дополнительные степени свободы, такие как скалярные поля (например, дилатон).

Калибровочное поле в этих теориях играет роль, аналогичную потенциалу в электродинамике. Например, в электродинамике калибровочное поле $A_\mu$ компенсирует фазовые изменения волновой функции при локальных U(1)-преобразованиях. В гравитации калибровочные поля (например, тетрада или спиновая связность) компенсируют изменения координат или локальных реперных систем.

Тетрада и спиновая связность

В калибровочных теориях гравитации часто используется формализм тетрад (или вирбейнов). Тетрада $e^a_\mu$ — это набор базисных векторов, который связывает локальную лоренцевскую систему отсчёта с глобальной метрикой пространства-времени. Метрика $g_{\mu\nu}$ выражается через тетраду как:

$${\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>g</em></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>\mu </em></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>\nu </em></span>}}<span\; style="font-size:16px;"><em>=</em></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>e</em></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>\mu </em></span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>a</em></span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>e</em></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>\nu </em></span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>b</em></span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>\eta </em></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>a</em></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;"><em>b</em></span>}}<span\; style="font-size:16px;"><em>,</em></span>$$

где ${\eta }_{ab}$ — метрика Минковского (плоского пространства-времени).

Спиновая связность $\omega^a_{b\mu}$ описывает, как локальные реперные системы вращаются при перемещении по пространству-времени. Она играет роль, аналогичную связности Кристоффеля в ОТО, но в калибровочной теории она является независимой динамической переменной.

Эти два поля (тетрада и спиновая связность) позволяют описывать гравитацию в терминах калибровочных полей, а не искривления пространства-времени, как в ОТО.

Лагранжиан и уравнения поля

Лагранжиан калибровочной теории гравитации обычно строится из инвариантов выбранной группы симметрии. Например, для группы Пуанкаре лагранжиан может включать:

• Тензоры кривизны, построенные из спиновой связности (аналог кривизны Римана).
• Тензоры кручения, связанные с тетрадой и описывающие "скручивание" пространства-времени.
• Взаимодействие с материальными полями (например, фермионами, которые требуют спиновой структуры).

Уравнения движения выводятся из вариационного принципа. Например, варьирование по тетраде даёт уравнения, аналогичные уравнениям Эйнштейна, а варьирование по спиновой связности может дать уравнения, описывающие кручение.

Отличия от общей теории относительности

Калибровочная теория гравитации отличается от ОТО в нескольких аспектах:

• Плоское пространство-время: В калибровочной теории фоновая геометрия обычно считается плоской (Минковского), а гравитация описывается как поле в этом пространстве. В ОТО же гравитация — это искривление самого пространства-времени.
• Кручение: В ОТО кручение пространства-времени обычно равно нулю (если не рассматривать расширения, такие как теория Эйнштейна-Картана). В калибровочной теории кручение может быть ненулевым и играть важную роль, особенно при взаимодействии с фермионами.
• Симметрия: Калибровочная теория основана на локальной симметрии, тогда как ОТО опирается на диффеоморфизмы (общие преобразования координат).
• Квантование: Калибровочные теории считаются более удобными для квантования, так как они ближе по структуре к стандартным калибровочным теориям, таким как квантовая хромодинамика. Однако полная квантовая теория гравитации всё ещё остаётся открытой проблемой.

Примеры калибровочных теорий гравитации

Существует несколько конкретных реализаций калибровочной теории гравитации:

• Теория Эйнштейна-Картана: Расширение ОТО, включающее кручение, которое возникает из спиновой связности. Кручение взаимодействует с фермионами, что делает эту теорию интересной для космологии и астрофизики.
• Гравитация Пуанкаре: Основана на группе Пуанкаре. Тетрада и спиновая связность являются независимыми полями, а лагранжиан включает как кривизну, так и кручение.
• Конформная гравитация: Использует конформную группу, что приводит к дополнительным масштабным степеням свободы. Пример — теория Вейля.
• Теле параллельная гравитация (телепараллелизм): Гравитация описывается только кручением, а кривизна равна нулю. Эта теория эквивалентна ОТО в классическом пределе, но имеет отличия в квантовых и космологических аспектах.

Преимущества и проблемы

Преимущества:

• Калибровочная теория ближе по структуре к другим фундаментальным взаимодействиям, что упрощает попытки объединения гравитации с другими силами в рамках единой теории.
• Наличие кручения позволяет учитывать спин материи, что может быть важно в экстремальных условиях, например, вблизи чёрных дыр или в ранней Вселенной.
• Плоское фоновое пространство-время упрощает квантование в некоторых подходах.

Проблемы:

• Сложность экспериментальной проверки: предсказания калибровочных теорий часто совпадают с ОТО в классическом пределе, а отклонения (например, связанные с кручением) трудно измерить.
• Математическая сложность: Введение дополнительных полей (тетрада, спиновая связность) усложняет уравнения.
• Неполная квантовая теория: Хотя калибровочные теории считаются перспективными для квантования, полная квантовая теория гравитации ещё не разработана.

Применения и перспективы

Калибровочные теории гравитации активно изучаются в следующих областях:

• Космология: Для объяснения тёмной энергии, инфляции или аномалий в крупномасштабной структуре Вселенной.
• Квантовая гравитация: Как основа для попыток построения квантовой теории гравитации, например, в рамках петлевой квантовой гравитации или теории струн.
• Астрофизика: Для описания эффектов спина в экстремальных объектах, таких как нейтронные звёзды или чёрные дыры.

Заключение

Калибровочная теория гравитации — это мощный теоретический подход, который переносит идеи калибровочной инвариантности из физики элементарных частиц на описание гравитации. Она предлагает альтернативный взгляд на гравитацию, представляя её как поле в плоском пространстве-времени, а не как искривление геометрии. Хотя такие теории пока не заменили ОТО, они предоставляют ценные идеи для объединения гравитации с другими фундаментальными взаимодействиями и для построения квантовой теории гравитации.