Модель Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (FLRW)

Модель Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (FLRW) представляет собой основной инструмент в современной космологии для описания большой шкалы структуры и эволюции Вселенной. Она используется в рамках общих теорий относительности для понимания геометрии и динамики космоса. Модель базируется на предположении, что Вселенная однородна и изотропна на больших масштабах.

 

Основные компоненты модели FLRW

1. Космологическая метрика

   Модель FLRW использует космологическую метрику, которая описывает пространство-время в расширяющейся Вселенной. Эта метрика выражается как:

    

   $d{s}^2=-c^{2}d{t}^2+a^2(t)[\frac{d{r}^2}{1-k{r}^2}+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)]$

    

   где:

   • $d{s}^2$ — элемент пространственно-временного интервала,
   • $c$ — скорость света,
   • $t$ — космологическое время,
   • $a(t)$ — фактор масштабирования, который описывает, как размеры объектов изменяются со временем,
   • $r$, $\theta$, $\varphi$ — космологические координаты (радиус, полярный и азимутальный углы),
   • $k$ — пространственная кривизна (0 для плоской Вселенной, +1 для положительной кривизны, -1 для отрицательной кривизны).

2. Фактор масштабирования

   Фактор масштабирования $a(t)$ описывает, как расстояния между объектами в Вселенной изменяются с течением времени. В различных эпохах истории Вселенной этот фактор имеет разные значения. Например, в начале Вселенной $a(t)$ было очень маленьким, что соответствует высокому температурному и плотностному состоянию. Со временем $a(t)$ увеличивался, что означает расширение Вселенной.

3. Космологическое уравнение

   Основным уравнением, связывающим фактор масштабирования с содержимым Вселенной, является уравнение Фридмана:

   
    

   ${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}+\frac{\mathrm{\Lambda }{c}^2}{3}$

   
    

   где:

   • $\dot{a}$ — производная фактора масштабирования по времени (темп расширения),
   • $G$ — гравитационная постоянная,
   • $\rho$ — плотность материи (включая тёмную материю и обычную материю),
   • $\mathrm{\Lambda }$ — космологическая постоянная (представляет тёмную энергию),
   • $k$ — пространственная кривизна.

   Это уравнение позволяет вычислить, как скорость расширения Вселенной зависит от её плотности, кривизны и космологической постоянной.

4. Уравнение состояния

   Уравнение состояния связывает давление и плотность различных компонентов Вселенной. Для однородной и изотропной Вселенной оно записывается как:

   $p=w\rho c^2$

   где:

   • $p$ — давление,
   • $w$ — параметр уравнения состояния,
   • $\rho$ — плотность.

   Разные компоненты Вселенной имеют разные значения $w$. Например:

   • Для обычной материи (барионной и тёмной) $w\approx 0$.
   • Для радиации $w=\frac{1}{3}$.
   • Для тёмной энергии (космологическая постоянная) $w=-1$.

5. Кривизна и геометрия

   Параметр кривизны $k$ определяет геометрию Вселенной:

   • $k=0$ для плоской Вселенной.
   • $k>0$ для положительно кривизной (замкнутая) Вселенной.
   • $k<0$ для отрицательно кривизной (открытая) Вселенной.

   Кривизна связана с общей плотностью материи и энергии в Вселенной.

 

Космологическое время и возраст Вселенной

Космологическое время $t$ — это время, прошедшее с начала Вселенной (Большого взрыва). Для оценки возраста Вселенной можно интегрировать уравнение Фридмана, используя текущее значение фактора масштабирования $a(t)$ и различные компоненты плотности.

 

Применение модели FLRW

1. Описание эволюции Вселенной: Модель FLRW позволяет отслеживать, как меняется плотность, температура и структура Вселенной на различных этапах её развития.

2. Предсказание крупномасштабных структур: Она помогает в понимании формирования и эволюции галактик и скоплений галактик.

3. Космологическое моделирование: Используется для проверки различных космологических гипотез и наблюдательных данных, таких как космический микроволновой фон, распределение галактик, и наблюдения сверхновых.

 

Выводы и ограничения

Модель FLRW основывается на предположениях однородности и изотропности, которые могут не полностью отражать сложные особенности Вселенной на малых масштабах. Однако она предоставляет мощный инструментарий для понимания и описания больших-scale космологических явлений и помогает интегрировать наблюдательные данные в единое теоретическое основание.